「奔驰定理」小结

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This note is intended for children under eight.

定理

若点 OOABC\triangle ABC 内一点,则有 SBOCOA+SAOCOB+SAOCOC=0.S_{\triangle BOC}\cdot \overrightarrow{OA} + S_{\triangle AOC}\cdot \overrightarrow{OB} + S_{\triangle AOC}\cdot \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{0}.

证明

如图,延长 AOAO 交边 BCBC 于点 PP,因为 SAOBSAPB=SAOCSAPC=AOAP\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle APB}}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle APC}}=\frac{AO}{AP}

所以 SAOB+SAOCSABC=AOAP,AO=AOAPAP=SAOB+SAOCSABCAP\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AO}{AP},\overrightarrow{AO}=\frac{AO}{AP}\overrightarrow{AP}=\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}\overrightarrow{AP}

BPPC=SAOBSAOC\frac{BP}{PC}=\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOC}},所以 BPBC=SAOBSAOB+SAOC\frac{BP}{BC}=\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}},同理 PCBC=SAOCSAOB+SAOC\frac{PC}{BC}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}}

因为 AP=PCBCAB+BPBCAC=SAOCSAOB+SAOCAB+SAOBSAOB+SAOCAC\overrightarrow{AP}=\frac{PC}{BC}\cdot \overrightarrow{AB}+\frac{BP}{BC}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}}\cdot \overrightarrow{AB}+\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}}\cdot \overrightarrow{AC}

所以 OA=AO=SAOB+SAOCSABCAP=SAOCSABC(OBOA)+SAOBSABC(OCOA)-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AO}=\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}\overrightarrow{AP}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ABC}}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})

SBOCOA+SAOCOB+SAOCOC=0S_{\triangle BOC}\cdot \overrightarrow{OA} + S_{\triangle AOC}\cdot \overrightarrow{OB} + S_{\triangle AOC}\cdot \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{0}

Q.E.D.Q.E.D.

几个推论

若点 OOABC\triangle ABC 内一点,且 αOA+βOB+γOC=0\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{0},则 α:β:γ=SBOC:SAOC:SAOB.\alpha :\beta :\gamma =S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOC}:S_{\triangle AOB}.

对于重心 GGGA+GB+GC=0\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}

对于外心 OOsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA}+\sin 2B \cdot \overrightarrow{OB}+\sin 2C \cdot \overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}

对于内心 IIaIA+bIB+cIC=0a\cdot \overrightarrow{IA}+b\cdot \overrightarrow{IB}+c\cdot \overrightarrow{IC}=\boldsymbol{0};(显然可以用正邪定理把 a,b,ca,b,c 换掉)

对于垂心 HHtanAHA+tanBHB+tanCHC=0\tan A\cdot \overrightarrow{HA}+\tan B\cdot \overrightarrow{HB}+\tan C\cdot \overrightarrow{HC}=\boldsymbol{0}。(ABCABC 非 Rt)

To be continued…

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笔记, 数学

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